Extensão ou site
Extensões para baixar vídeo do Twitter são populares, mas dependem do mesmo acesso que hoje está instável, e precisam de permissão para ler as páginas que você visita. Pelo site, só o link vai embora.
Se uma extensão ou outro site funcionar melhor para você hoje, não há problema nisso; só garantimos que não pedimos login nem guardamos o vídeo.
Quando falha, o que fazer
Se a mensagem disser que o vídeo não pôde ser acessado, tente de novo após alguns minutos. Se persistir, o post pode ter sido apagado, ter virado privado ou estar entre os que o X bloqueia para acesso externo.
Posts com mais de um vídeo entregam, em geral, só o primeiro. Cole o link de cada vídeo separadamente quando o endereço permitir.